Liczby Stirlinga są to dwa szczególne ciągi liczbowe analizowane przez Jamesa Stirlinga
Liczby Stirlinga I rodzaju
przy założeniach ![\left[\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right] = 1,
\quad \mbox { } \quad
\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=0
\quad \mbox { i } \quad
\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = 1.](http://upload.wikimedia.org/math/c/2/e/c2e786932daa0f99d8ecc1aa14f32683.png)
Opisują liczbę sposobów na rozmieszczenie n liczb w k cyklach, oznaczane są symbolem:
![\left[
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right]](http://upload.wikimedia.org/math/e/4/7/e4719791f5349b15122bcf44ce5c1aae.png)
Który czyta się "k cykli n". Spełniają one związek rekurencyjny postaci:
![\left[
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right]
= (n-1)
\left[
\begin{matrix}
n - 1\\
k\\
\end{matrix}
\right]
+
\left[
\begin{matrix}
n - 1\\
k - 1\\
\end{matrix}
\right]](http://upload.wikimedia.org/math/c/c/9/cc92c2fdaa17fee2b0dce16a62eab131.png)
Przyjmuje się, że jeżeli 
, to ![\left[ \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right] = 0](http://upload.wikimedia.org/math/9/b/8/9b8a178b673667d66eb4f8ea0a97a157.png)
, to
Niekiedy liczby Stirlinga pierwszego rodzaju są oznaczane innym symbolem:
![\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]=s(n,k)](http://upload.wikimedia.org/math/2/8/3/283bfe964f7100bb222df00df8bd52b6.png)
Czasami przyjmuje się także naprzemienne, dodatnie i ujemne wartości liczb Stirlinga pierwszego rodzaju, co ma uzasadnienie przy wzorach na potęgi kroczące. W przyjętej tu konwencji liczby Stirlinga pierwszego rodzaju są zawsze nieujemne.
Pochodzenie wzoru rekurencyjnego
Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga pierwszego rodzaju ilość rozmieszczeń n–liczb w k–cyklach, łatwo jest pokazać pochodzenie rekurencyjnej zależności między nimi. Wystarczy wybrać dowolną liczbę i rozpatrzyć ilość pozostałych cykli. Jeżeli ta liczba była w cyklu, składającym się z jednego elementu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k-1–cyklach, zaś dodanie jednej cyfry następuje w jeden sposób, poprzez stworzenie nowego cyklu. Jeżeli liczba była w liczniejszym cyklu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k–cyklach, zaś dodatkową liczbę można wstawić do dowolnego cyklu w dowolny sposób, czyli "obok" każdej liczby, a liczb jest n-1, co oznacza n-1–sposobów umieszczenia liczby w tym przypadku. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można ustawić w 0 cykli na 0 sposobów, oraz 1 liczbę w 1 cyklu na 1 sposób.Potęgi kroczące
Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju bywają także definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie potęg malejących (silni dolnej) na zwyczajne potęgi:
![x^{\underline{n}} = x(x-1)\ldots(x-n+1)\ = \sum _{k=0} ^{n} (-1)^{k+1} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right] x^k](http://upload.wikimedia.org/math/b/8/5/b853ec00a76c27f83db0097e399199ed.png)
Przy zamianie normalnych potęg na potęgi rosnące (silnię górną) występuje zależność:
![x^n = \sum _{k=1} ^{n} (-1)^{k+1} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right] x^{\overline{k}}](http://upload.wikimedia.org/math/6/3/5/635b3ff204c5cf00513385de1af1b0d6.png)
Trójkąt liczbowy
Liczby Stirlinga I rodzaju tworzą trójkąt liczbowy podobny do trójkąta Pascala.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz